从STL文件到网格拓扑

STL文件是什么

STL文件是网格文件的一种格式,分为二进制和文本两种类型。具体来讲,它定义了一群三角面片,比如下面是一个文本的STL示例:

    solid geometryplusplus
        facet normal -0.902325 -0.430279 -0.0258872
            outer loop
              vertex -86.941 -297.521 -115.031
              vertex -87.0579 -297.277 -115.053
              vertex -86.9864 -297.4 -115.516
            endloop
        endfacet
        facet normal -0.94428 -0.0796825 0.319353
            outer loop
              vertex -87.2002 -296.181 -112.896
              vertex -87.0852 -296.215 -112.573
              vertex -87.1714 -295.916 -112.749
            endloop
        endfacet
        facet normal -0.987853 0.0260761 -0.153187
            outer loop
              vertex -86.8988 -294.403 -120.439
              vertex -86.7915 -294.399 -121.13
              vertex -86.8956 -294.772 -120.527
            endloop
        endfacet
    endsolid geometryplusplus

网格拓扑是什么?为什么不建议使用STL格式

网格本质上是曲面的一次逼近,它有两个核心的量:几何和拓扑。几何信息通过顶点位置来记录,而拓扑信息通过三角网格的连接关系来记录。曲面移出掉几何信息,就只剩下拓扑信息了。比如橡皮泥,你可以任意改变它的形状,只要不撕裂它,那么它的拓扑信息是不变的。所以,关于网格的计算,不仅需要几何的正确性,拓扑的正确性也是极其重要,却又是极容易被人忽略的。STL文件格式,其实并没有记录网格的连接关系,只是一群三角面片,有个英文名词叫triangle soup,说的就是这种格式。为了给STL格式的网格建立网格连接关系,常见的做法是把位置重叠的点融合成一个点。但是这种做法,也让STL格式不能表达带割缝的网格结构了。所以,不建议使用STL格式来存储网格。可以使用OBJ格式来代替它。


网格顶点数和面数的关系

拓扑学的欧拉公式描述了网格顶点,边和面之间的关系:V - E + F = X. 其中V是网格顶点数,E是网格边数,F是网格面数,X是网格的欧拉示性数,是一个拓扑不变量。在网格点数很多的情况下,有下面这个近似关系:E = 3 * F / 2, X = 0。带入欧拉公式后,有近似关系:F = 2 * V。注意,如果导入一个stl网格,并且没有做顶点融合,V = 3 * F。所以,根据顶点和面的数量关系,可以判断导入的stl是否做了顶点融合。


网格亏格

简单的讲,网格的亏格(g)就是网格上“环柄”的数量,如下图所示,球体亏格为0,环体为1......欧拉示性数X = 2 - 2 * g, 如果网格有洞,则X = 2 - 2 * g - b. 在网格UV展开中,需要将网格剪开成圆盘拓扑,需要至少g + 1刀。

genus

可定向网格

每个三角面片都有一个定向,比如v0, v1, v2,如下图左所示。相邻边的定向如果是相反的,则为相容的。如果网格所有的定向都是相容的,则为可定向曲面,反之为不可定向曲面。莫比乌斯带是有名的不可定向曲面,它只有一面:一个人从某点出发,绕带环游一圈回来后,则站在了这点的背面。

mesh orientation

拓扑修复是什么

  • 拓扑修复是指把网格的连接关系修复成流形结构。
  • 流形结构是指网格每一个点的邻域是圆盘拓扑结构,并且是单连通的。典型的非流形结构包括:边的邻面多于2个,点的邻域面是多连通区域,孤立点等。
  • 拓扑修复的主要原因是,很多网格算法对网格有流形结构的假设,如果网格不满足流形结构,算法有可能会失败。逆向软件里导入的网格,往往是第三方软件产生的,没有流形结构的保证,所以第一步处理就需要检测是否有非流形结构。Geometry++的算法可以保证,流形结构的输入一定产生流形结构的输出。

  • 子网格的非流形结构

    网格处理的时候,常常会遇到子网格结构,也就是部分网格。比如网格面片选择。这些子网格结构,有可能有非流型结构,比如某个顶点的邻域有多个连通区域。那么在编辑这些子网格的时候,要么编辑操作能与非流形结构相融,要么优化子网格区域,保证其流形结构。